if ( ob.str[i] >= '0'  && ob.str[i] <= '9' )

Мой вариант не перегружает:

class MyClass
{
             std::string str[SZ];
 public:
    int   operator>= (unsigned char ch)
};
//=================================
int MyClass::operator>=(unsigned char ch)
{
     MyClass tmp;
     for ( int i = 0; i < 10; i++)
          if ( tmp.str[i] >= ch)
                 return 1;
        else
                 return 0;
}

P.S. В вашем коде я не разобрался. Скорее всего он имеет смысловые ошибки.

Есть строка типа string str[SZ], описанная в классе и имеющая размер SZ. Строка может сожержать буквенные и цифровые символы.

В цикле

for (int i = 0; int < SZ; i++)
            if ( str[i] >= '0' && str[i] <= '9')
                   ...

Пример приведён для цифровых символов строки

Очевидно вы имели ввиду не str[SZ], а переменную типа string с максимальной длиной в SZ. Это разные вещи. В данном случае вы определили не одну стпроку а кучу (array of strings) размером SZ (т.е SZ строк).

В вашем случае вам надо определить просто string str ; и задать ему какое то значение. А затем уже можно получить список букв в  этой строке через обращение к str.c_str[i].

В классе определяется std::string str[SZ] , где SZ это максимальный размер массива str.

Если, как вы предлагаете, описать в классе не std::string str[SZ], а просто std::string str, то ошибок, указывающих на выше приведённую строку, компиллятор не выдаёт.

В функции, члене этого класса, у меня появляется перечисление

enum digit { A = 1, B, ..., Z};

    digit array[] = {A, ..., Z};

Строка, как я уже сказал, может содержать и цифры и буквы, поэтому, когда необходимо выяснить, какая буква в массиве str, я написал:

в цикле

 
if ( str[i] == array[j] ) // поиск буквы из 
                          //массива str
                         // в массиве array

И вот в этом самом месте получаю сообщение об ошибке (перегрузка оператора operator[]()).

Правилен ли мой выбор такого подхода?